Interés es un índice utilizado para medir la rentabilidad de los ahorros o el coste de un crédito. Se expresa mediante un porcentaje.

Indica, en una cantidad de dinero y tiempo dados, qué porcentaje de ese dinero se obtendría como beneficio, o en el caso de un crédito, qué porcentaje de ese dinero habría que pagar.

Es habitual aplicar el interés sobre períodos de un año, aunque se pueden utilizar períodos diferentes.

Hay dos tipos de indicadores para medir la rentabilidad de los ahorros o carestía de un crédito: el TIN y el TAE.

TIN (Tipo de Interés Nominal)

Se llama TIN o Tipo de Interés Nominal (abreviado como interés nominal) al porcentaje aplicado cuando se ejecuta el pago de intereses.

Por ejemplo:

Si se tiene un interés nominal de 6% anual y se aplica una vez al año, cuando se aplica al finalizar el año se abona un 6% sobre lo que se tenía ahorrado.

Si se aplicase una vez al mes, en vez de al año, sería el 0,5% de lo que se tenía ahorrado:

$6%/{(12\ meses)} = 0.5%\$

Pero al siguiente mes el TIN se aplica sobre lo que se tenía ahorrado más lo producido por los intereses. Con lo que a final de año es como si se tuviese más de un 6% de interés. En concreto se obtendría un 6,17% TAE. Véase el concepto de TAE en el siguiente apartado.

[editar] Tipo de Interés Real

El tipo de interés real muestra qué rentabilidad obtendrá de facto el inversor que realice algún tipo de operación de crédito.

Se expresa por norma general en porcentaje.

Este sistema tiene en cuenta la inflación que sufren las economías, por lo que refleja la devaluación de la divisa debida al paso del tiempo y con ello la pérdida de poder adquisitivo.

Se obtiene a partir del Tipo de Interés Nominal (TIN) y la Tasa de Inflación esperada.

$\frac{1+rN}{1+\pi} = 1 + rR$

Donde:

$r N$ = Tipo de interés nominal.
$r R$ = Tipo de interés real.
$π$ = Inflación esperada.

Existe una manera más sencilla de estimar el Tipo de Interés Real, que sirve para hacerse una idea de su posible valor al instante:

Tipo de interés Real ≈ Tipo de Interés Nominal – Tasa de Inflación

Aunque para cantidades pequeñas de dinero esta aproximación es aceptable, para cantidades mayores, dista bastante del cálculo anteriormente mencionado.

[editar] TAE (Tasa Anual Equivalente)

Para mostrar cuál es la ganancia al final del año, de forma normalizada (con independencia de los períodos de aplicación y otros factores), se utiliza el TAE o Tasa Anual Equivalente.

Un TAE de un 6% sería igual a un interés nominal de 6% aplicado una vez al año.
Un interés nominal de un 6% anual aplicado cada mes daría un 6,17% TAE.

Para calcular el TAE se utiliza la siguiente fórmula:

$\left ( 1 + \frac {i}{n} \right )^n = 1 + TAE$

Donde:

i = Interés nominal (tanto por uno).
n = Fracciones en que el interés va a ser aplicado. Si p. ej. se aplica una vez al mes, son 12 al año, por lo que en ese caso, n=12. Así, n vale 6 si la aplicación es cada dos meses (bimestral), 4 si es cada 3 meses (trimestral), 3 si es cada cuatro meses (cuatrimestral), 2 si es cada 6 meses (semestral), y 1 si es anual.
TAE = Tasa anual equivalente (tanto por uno).

Ejemplo:

Con un interés nominal del 6% y 12 pagos al año, resulta un TAE de 6,17%:

$\left ( 1 + \frac {0,06}{12} \right )^{12} - 1 = 0,0617$

obteniéndose al finalizar el año, para 600 euros:

$600 \cdot 0,0617 = 37$ €

En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos.

Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.

En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.

Véase secuencia, tupla, colección, familia y conjuntos en matemáticas

Definiciones

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva:

Definición abstracta

Clase de finitos o numerables objetos ordenados.

Definición conjuntista

Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de $\mathbb{N}$ en X.

Notación

Notaremos por $\left\{{x_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}}$ a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos $\left\{{y_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}}$ .

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a $x_n^{}$ ,donde ${n\epsilon\mathbb{N}}$ indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

Definición de parcial

Llamaremos parcial de $\left\{{x_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}}$ a una sucesión $\left\{{x_{n_i}}\right\}_{n_i\epsilon\mathbb{N}}$ donde $n_i^{}<n_{i+1}^{}$

Ejemplos en distintas áreas

Estos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas.

El trabajo interno en el desarrollo de cada tema en cada área obliga a diversificar el modo de nominar y notar las sucesiones, haciéndose frecuente el uso de índices, subíndices y superíndices para salvar la sobrecarga de notación y hacerlas más legibles y estéticas en cuanto a la presentación.

En $\mathbb{C}^n$

Se puede tener una sucesión $\left\{{V^{(i)}}\right\}_{i\epsilon\mathbb{N}}$ tal que ${V^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_n^{(i)}),donde\; a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}$

En el espacio de las sucesiones finitas en $\mathbb{C}$

Se puede tener una sucesión $\left\{ {a^{(i)}}\right\}_{i\epsilon\mathbb{N}}$ tal que ${a^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_{n_i}^{(i)} ,0,...),donde\; a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}-\left\{0\right\}$

En K[x]

Un polinómio $P(x) \in K[x]$ no es más que una sucesión finita $\left\{{a_n}\right\}_n$ tal que $a_n \in K$ representada como $P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ .

En $M_{m \times n}(k)$

Se puede tener una sucesión $\left\{{A_i}\right\}_{i \in \mathbb{N}}$ tal que $A_i:= \begin{pmatrix} a_{1,1}^{(i)} & \ldots & a_{1,n}^{(i)} \\ \vdots && \vdots \\ a_{m,1}^{(i)} & \ldots & a_{m,n}^{(i)} \end{pmatrix}$ , donde $a_{j,k}^{(i)} \in K$ .

[ En un espacio vectorial topológico

Se puede tener una sucesión $\left\{{V_{i}^{}}\right\}_{i\epsilon\mathbb{N}}$ , donde $V_n^{}:= \alpha_n B$ , donde $\alpha_n \in \mathbb{R}$ es una sucesión real arbitraria y B un abierto.

Sucesiones funcionales

Se puede tener una sucesión de funciones continuas $\left\{{{f(x)}_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}}=sin(x)^n$ .

En el lenguaje proposicional

Sea $A_{}^{}$ un alfabeto, llamaremos $A_{}^n$ al conjunto de sucesiones finitas de n elementos de $A$ , se define inductivamente por la sucesión de productos cartesianos siguiente: $A^1=A, A^2=A\times A, ... , A^n:=A^{n-1}\times A$

así $\text{[math]}$ :={<<}a_1,...,a_{n-1}{>},a_n{>}\in A^n {,y\;} a_i:={<}a_i{>}\in A" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/5/7/9572c42f3b53269a0d3c9dc6d5518fae.png">.

En homología simplicial

El complejo de cadenas simplicial del complejo simplicial K, no es más que una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismos

En el lenguaje de las categorías

Sea $\mathcal{A}$ una categoría, podemos tener una sucesión $\left\{{A_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ , donde $A_{n}^{} \in Ob({ \mathcal{A} })$ .

Sucesiones numéricas

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los naturales en los reales, es decir :

$\begin{matrix} u:& \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\ & n & \to & u_n \end{matrix}$

que escribiremos simplemente como $\left\{{u_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también vale $\left\{{u_n}\right\}_{n \geq 0}$ .

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de $u_{}^{}$ fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo $\frac{a}{b}, \; b \neq 0$ , podemos llamarla sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .

Notas y ejemplos básicos

Para definir término a término la sucesión, se indica para cada termino el valor que le corresponde directamente:

El primero es $u_0^{}=$ a por ejemplo 3,

el segundo es $u_1^{}=$ a por ejemplo -10,

el tercero es $u_2^{}=$ a por ejemplo 9, y así sucesivamente.

Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los valores, se usa el término general y se escribe acompañado como $, \; ... \; ,u_n^{}=$ a por ejemplo número al azar, ... .

Los puntos suspensivos dan por entendido que los valores de la sucesión se omiten ya que estos quedan claramente determinados hasta el infinito, siendo el n-ésimo valor, $u_n^{}=$ , el portador del método para generar el valor de cada término, y el nombre $n_{}^{}$ puede ser cambiado, si hace falta, por $i_{}^{}$ , $j_{}^{}$ , $k_{}^{}$ , $l_{}^{}$ , ... .

Materialmente seria: 3, -10, 9, 7, ... , número al azar, ... .

Sucesión finita

Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último termino, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente: $a_0, \; a_1, \; a_2, \; ... \; , \; a_i , \; ... \; , \; a_n$ , donde $a_i^{}$ sería el término general si hiciese falta.

ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.

Sucesión constante

Diremos que una sucesión es constante si todos los términos valen $a_{}^{}$ , un número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente $u_0^{} = a, \; u_1 = a, \; u_2 = a, \; u_3 = a, \; ... \; , \; u_i = a,\;...$ .

ejemplo: si $a_{}^{}=1$ queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

Sucesión creciente

Si imponemos al termino general, de una sucesión numérica, la condición que $a_i^{} < a_{i+1}$ , es decir, que el siguiente término, $a_{i+1}^{}$ , siempre sea mayor estricto que su predecesor, $a_i^{}$ , se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... .

Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ... .

Para reales: $-2'01, \; -1, \; 0, \; \sqrt{2}, \; e_{}^{}, \; \pi, \; ,\;...$ .

Si imponemos $a_i^{} \leq a_{i+1}$ , es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el termino general, que:

si $a_i^{} \geq a_{i+1}$ entonces la sucesión es decreciente,

si $\text{[math]}$ a_{i+1}" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/d/4/9d460ffb01e4c54999b7e5ef31245592.png"> es estrictamente decreciente.

Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como $a n = ( - 1) n$ que nos genera la sucesión: 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... . Utilizado por las series llamadas series alternas.

Según el término general

El termino general de la sucesión queda definido de forma explícita si su valor está en función del valor del subíndice, es decir, si $u_i^{} = f(i)$ donde $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ es una función cualquiera como por ejemplos:

$u_i^{} = i + 1$ que daría la sucesión de naturales sucesivos, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

$u_i^{} =2 i$ que daría todos los número pares incluido el cero, es decir, 0, 2, 4, 6, 8, ... .

$u_i^{} = i^2$ que daría la sucesión de cuadrados siguiente, 0, 1, 4, 9, 16, ... .

Dada una función $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ , llamaremos extensión en los reales de $f_{}^{}$ a una función $P: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ cuyos valores coinciden en el dominio de $f_{}^{}$ , es decir, $f_{ | \mathbb{N}}=P_{ | \mathbb{N}}$ .

Error fatal es nombrar a la extensión en los reales con el mismo nombre ¡ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ !, pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no univoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Compruébese que $f(i)=u_i^{}=f(i)+sin(i \pi)$ solo si la sucesión que determinan sobre los enteros es la misma, pero ¡no son la misma función!, llamemos a la extendida por ejemplo $P_{}^{}, \; Q_{}^{}, \; \phi_{}^{}$ o $\psi_{}^{}$ si es un polinomio, o $g_{}^{}$ o $h_{}^{}$ si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta

El diario de mate de kelly

jueves, 2 de septiembre de 2010

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