El diario de mate de kelly: agosto 2010

ejercicios de mate 2010

1.lim⁡(x=0) (x^2+8x)/x=x(x+8)/x=x+8=8
2.lim⁡〖(x=2) (x^2-4x+3)/(x^2-5x+4)〗=((x-3)(x-1))/((x-4)(x-1))=((x-3))/((x-4))=(1-3)/(1-4)=(-2)/(-3 )
3.lim⁡〖(x=1) (x-1)/(x^2+3x-4)〗=(x-1)/(x+4)(x-1) =1/(x+4)=1/5
4.lim⁡〖(x=-2) (2-3t-t^2)/(16+6t-t^2 )〗=(t-2)(t-1)/(t+8)(t-2) =((t-1))/(t-8))=(-2-1)/(-2-8)=(-3)/(-10)
5.lim⁡〖(m=4) (m^2-8m-16)/(m^2-3m+4)〗=(m-4)(m+4)/(m-4)(m-1) =(m+4)/(m-1)=(4+4)/(4-1)=8/3
6.lim⁡〖(k=10) (4-3k-k^2)/(8+6k〖-k〗^2 )〗=(k-4)(k+1)/(k-4)(k-2) =(k+1)/(k-2)=(10+1)/(10-2)=11/8

Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, pero distintos de c.

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del Calculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.^[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.^[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860^[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.^[2]

Definición formal

Funciones en espacios métricos

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

0 \ \ \exists \delta > 0 : \\ \forall x(0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon) \end{array}" shapes="Imagen_x0020_4" border="0">

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a c será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - c| < δ, tenemos que |f(x) - L| < ε

El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

Supóngase f : (M, d_M) -> (N, d_N) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en c es L" y escribimos

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 <>_M(x, c) < δ, tenemos d_N(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = c es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:

Si $0 < \left| x - c \right| < \delta$ , entonces $\left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon$

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - c | < δ es la siguiente:

X pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ): x no toca el valor de c, pues

0 < | x - c | implica x distinto de c,

Mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:

y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "c" y agujereada en "c" con radio delta y centro "c", aun cuando en ese punto "c" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite

Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.^[4]

Supongamos que $lim_{x\rightarrow p}f(x)=L$ , veamos que no puede ser que $L'\neq L$ también verifique la definición. Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersecten. Por definición de límite $f(x)\in E$ para todo x en algún entorno agujereado de p, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Límite de una función en un punto

Sea f una función real, entonces

$\lim_{x \to c}f(x) = L ,\quad c, L \in \R$

si y sólo si

Para todo 0 \; " shapes="Imagen_x0020_12" border="0">existe un 0 \; " shapes="Imagen_x0020_13" border="0">tal que para todo número real x en el dominio de la función

$0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon$

Notación formal: 0, \exists {\delta >0} / \forall_{x\in\mathbb{D}}\ 0< |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|< \varepsilon" shapes="Imagen_x0020_15" border="0">

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

$\begin{array}{ll} \infty - \infty \\ \\ \cfrac{\infty}{\infty} & \cfrac{0}{0} \\ \\ \infty \cdot 0 & 1^\infty \\ \\ \infty ^0 & 0^0 \end{array}$

* Nota: $\infty \,\!$ se refiere al límite que tiende infinito y $0 \,\!$ al límite cuando tiende 0 (no al número 0).

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty$ $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1$

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=0$

Propiedades de los límites

Si k es un escalar:

Límite de una constante: $\lim_{x \to p} k =\, k\,$
Límite de la función identidad: $\lim_{x \to p} x = \, p \,$
Producto de una función y una constante: $\lim_{x \to p} kf(x) =\, k\lim_{x \to p} f(x)\,$
Límite de una suma: $\lim_{x \to p} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) + \lim_{x \to p} g(x)\,$
Límite de una resta: $\lim_{x \to p} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) - \lim_{x \to p} g(x)\,$
Límite de un producto: $\lim_{x \to p} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) \cdot \lim_{x \to p} g(x)\,$
Límite de un cociente: $\lim_{x \to p} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to p} {f(x)}} \over {\lim_{x \to p} {g(x)}}}\,\ si\ g(x) \ne 0 \ y \lim_{x \to p} g(x) \ne 0,$
Límite de una potencia: 0" shapes="Imagen_x0020_29" border="0">
Límite de un logaritmo: ${\lim_{x \to p} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to p} f(x)}$
Definión del número e como límite: ${\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e$
${\lim_{x \to p} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0 \mbox{ si } f(x)\, \mbox{ acotada y } g(x) \mbox{ infinitesimo}$ .

Límites trigonométricos

${\lim_{x \to \infty} x \; \sin \left (\frac {2\pi}{x} \right ) \cos \left (\frac {2\pi}{x} \right )} =\,2\pi$
${\lim_{x \to 0} {{\operatorname{sen}x} \over x}} = {\lim_{x \to 0} {{x \over \operatorname{sen}x}}} =\, 1 \,$
${\lim_{x \to 0} {\tan x \over x}} = {\lim_{x \to 0} {x \over \tan x}} =\, 1 \,$
${\lim_{x \to 0} {\operatorname{sen}x \over \tan x}}\, = {\lim_{x \to 0} {\tan x \over \operatorname{sen} x}} =\, 1$
${\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos x}{x^2} } =\, 1/2 \,$

Límite matemático

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Límite de una función

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Artículo principal: Límite de una función

Definición rigurosa

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$\lim_{x\to c} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

0 \ \ \exists \ \delta > 0 / \\ 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \end{array}" shapes="Imagen_x0020_5" border="0">

Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se lee como:

"El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Límites notables

Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, que proveen resultados muy interesantes.

${\lim_{x \to \infty} \left (1+ \frac {1}{x} \right )^x } =\, e$ (número e)
${\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} =\, 1$
${\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =\, 1$

Demostración

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) <>x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

$1 < \frac{x}{\operatorname{sen\,}x} < \frac{1}{\cos x}$

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

$\cos x < \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < 1$

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

$\lim_{x\to 0} \cos x < \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < \lim_{x\to 0} 1$

Lo que es igual a:

$1 < \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen\,} x}{x} < 1$

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen\,}(x)}{x}=1$

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

${\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} = {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}= 1 \cdot 1 = 1$

El límite que obtiene el número e se demuestra de manera análoga, desarrollando el binomio de Newton y aplicando el límite cuando x tiende a infinito.

Límite de una sucesión

0 \end{cases} " shapes="Imagen_x0020_17" border="0">

Artículo principal: Límite de una sucesión

La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a . Decimos que la sucesión a_n tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:

$\lim_{n\to\infty}a_n = a$

si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:

$a_n \to a \Leftrightarrow$ 0, \exists N>0 : \forall n\ge N, |a_n - a|<\epsilon" shapes="Imagen_x0020_21" border="0">

Propiedades de los límites

Generales

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

$\lim_{x \to a} x = \, a \,$

Límite por un escalar.

$\lim_{x \to a} kf(x) =\, k\lim_{x \to a} f(x)\,$ donde k es un multiplicador escalar.

Límite de una suma.

$\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\,$

Límite de una resta.

$\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\,$

Límite de una multiplicación.

$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\,$

Límite de una división.

$\underset {x \to a} {\lim} \; \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {\underset {x \to a} {\lim} \; f(x)} {\underset {x \to a} {\lim} \; g(x)} \quad \mathrm{si}\ \lim_{x \to a} g(x) \ne 0$

Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

$\infty - \infty , \quad \frac{\infty}{\infty} , \quad \infty \cdot 0 , \quad \frac{0}{0} , \quad \infty ^0 , \quad 1^\infty , \quad 0^0$

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto :

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty$

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1$

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{} \quad \lim_{t\rightarrow 0} {t} = 0$

El diario de mate de kelly

sábado, 28 de agosto de 2010

ejercicios de mate 2010

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