sábado, 28 de agosto de 2010

Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, pero distintos de c.

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del Calculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Definición formal

Funciones en espacios métricos


Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

0 \ \ \exists \delta > 0 : \\ \forall x(0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon) \end{array}" shapes="Imagen_x0020_4" border="0">

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a c será L si y solo sí para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - c| < δ, tenemos que |f(x) - L| < ε

El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

Supóngase f : (M, dM) -> (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en c es L" y escribimos

\lim_{x \to c}f(x) = L

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 <>M(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = c es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:

Si0 < \left| x - c \right| < \delta, entonces \left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - c | < δ es la siguiente:

X pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ): x no toca el valor de c, pues

0 < | x - c | implica x distinto de c,

Mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:

y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "c" y agujereada en "c" con radio delta y centro "c", aun cuando en ese punto "c" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite

Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.[4]

Supongamos quelim_{x\rightarrow p}f(x)=L , veamos que no puede ser que L'\neq L también verifique la definición. Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersecten. Por definición de límite f(x)\in E para todo x en algún entorno agujereado de p, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Límite de una función en un punto

Sea f una función real, entonces

\lim_{x \to c}f(x) = L ,\quad c, L \in \R

si y sólo si

Para todo 0 \; " shapes="Imagen_x0020_12" border="0">existe un 0 \; " shapes="Imagen_x0020_13" border="0">tal que para todo número real x en el dominio de la función

0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon

Notación formal: 0, \exists {\delta >0} / \forall_{x\in\mathbb{D}}\ 0< |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|< \varepsilon" shapes="Imagen_x0020_15" border="0">

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

\begin{array}{ll} \infty - \infty \\ \\ \cfrac{\infty}{\infty} & \cfrac{0}{0} \\ \\ \infty \cdot 0 & 1^\infty \\ \\ \infty ^0 & 0^0 \end{array}

* Nota: \infty \,\!se refiere al límite que tiende infinito y 0 \,\!al límite cuando tiende 0 (no al número 0).

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=0

Propiedades de los límites

Si k es un escalar:

  1. Límite de una constante: \lim_{x \to p} k =\, k\,
  2. Límite de la función identidad: \lim_{x \to p} x = \, p \,
  3. Producto de una función y una constante: \lim_{x \to p} kf(x) =\, k\lim_{x \to p} f(x)\,
  4. Límite de una suma: \lim_{x \to p} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) + \lim_{x \to p} g(x)\,
  5. Límite de una resta: \lim_{x \to p} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) - \lim_{x \to p} g(x)\,
  6. Límite de un producto: \lim_{x \to p} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to p} f(x) \cdot \lim_{x \to p} g(x)\,
  7. Límite de un cociente: \lim_{x \to p} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to p} {f(x)}} \over {\lim_{x \to p} {g(x)}}}\,\ si\ g(x) \ne 0 \ y \lim_{x \to p} g(x) \ne 0,
  8. Límite de una potencia: 0" shapes="Imagen_x0020_29" border="0">
  9. Límite de un logaritmo: {\lim_{x \to p} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to p} f(x)}
  10. Definión del número e como límite: {\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e
  11. {\lim_{x \to p} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0 \mbox{ si } f(x)\, \mbox{ acotada y } g(x) \mbox{ infinitesimo} .

Límites trigonométricos

  1. {\lim_{x \to \infty} x \; \sin \left (\frac {2\pi}{x} \right ) \cos \left (\frac {2\pi}{x} \right )} =\,2\pi
  2. {\lim_{x \to 0} {{\operatorname{sen}x} \over x}} = {\lim_{x \to 0} {{x \over \operatorname{sen}x}}} =\, 1 \,
  3. {\lim_{x \to 0} {\tan x \over x}} = {\lim_{x \to 0} {x \over \tan x}} =\, 1 \,
  4. {\lim_{x \to 0} {\operatorname{sen}x \over \tan x}}\, = {\lim_{x \to 0} {\tan x \over \operatorname{sen} x}} =\, 1
  5. {\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos x}{x^2} } =\, 1/2 \,
Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)