El diario de mate de kelly

Ejemplo 1

Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

$y = ax^2 + bx + c \,$

calculamos su derivada respecto a x:

$\frac{dy}{dx} ax^2 + bx + c = 2ax + b$

que si la igualamos a cero, tenemos:

$2ax + b = 0 \,$

donde x valdrá:

$x = \frac{-b}{2a}$

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo o mínimo relativo de la función.

Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivada segunda de la función, veamos:

$\frac{d^2y}{dx^2} \; ax^2 + bx + c = \frac{dy}{dx} \; 2ax + b = 2a$

esto es: 2a sera positivo cuando a sea positivo y negativo si a es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la parábola es cóncava y el punto será un mínimo de la función, si a es negativa la parábola será convexa y sea un máximo.

Dada la función:

$y = x^2 - x - 2 \,$

De la figura, calcularemos su derivada primera:

$\frac{dy}{dx} \; x^2 - x - 2 = 2x - 1$

Esta derivada valdrá cero:

$\frac{dy}{dx} = 0$

cuando:

$2x - 1 = 0 \,$

esto es:

$x = \cfrac{1}{2}$ $2x = 1 \,$

Esta función presenta un extremo relativo para $x = \frac{1}{2}$ , veamos si es un máximo o un mínimo, calculando la derivada segunda:

$\frac{d^2y}{dx^2} \; x^2 - x - 2 = \frac{dy}{dx} \; 2x - 1 = 2$

Que es 2, dado que 2 es un valor positivo, la función es convexa, y el extremo relativo que presente para : $x = \cfrac{1}{2}$ , es un mínimo. El valor de la derivada segunda de una función de segundo grado es el coeficiente de y = x², por lo que a la vista de la ecuación, podíamos adelantar que seria mínimo sin calcular la derivada segunda.

discriminante negativo

Δ <>eje x.

Si tenemos la función siguiente:

$y = x^2 - 4x - 6 \,$

que corta el eje x cuando:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad x^2 - 4x - 6 = 0 \,$

para encontrar su solución haremos:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 (1) (-6)}}{2 (1)}$

Haciendo las operaciones, tendremos:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2}$

Al no existir ningún número real que sea la raíz de –8, no se puede continuar haciendo las operaciones, por lo que podemos decir que esta función no tiene corte con el eje x, como se ve en la figura.

Si tenemos en cuente la existencia de los números imaginarios, podemos realizar las siguientes operaciones:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{8(-1)}}{2} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{8} \, \sqrt{-1}}{2} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{8} \; i }{2}$

Continuando con las operaciones:

$x = \frac{-4}{2} \pm \frac{\sqrt{8} \; i}{2} \quad x = \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\frac{8}{4}} \; i \quad x = -2 \pm \sqrt{2} \; i$

dando como solución:

$x_1 = -2 + \sqrt{2} \; i$

$x_2 = -2 - \sqrt{2} \; i$

Dado el plano cartesiano xy, real, la parábola vista no corta el eje real x en ningún punto, esa misma ecuación estudiada dentro de los números complejos presenta dos soluciones, cumpliéndose de este modo el Teorema fundamental del álgebra.

Extremos relativos

$y = ax^2 + bx + c \,$

calculamos su derivada respecto a x:

$\frac{dy}{dx} ax^2 + bx + c = 2ax + b$

que si la igualamos a cero, tenemos:

$2ax + b = 0 \,$

donde x valdrá:

$x = \frac{-b}{2a}$

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo o mínimo relativo de la función.

Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivada segunda de la función, veamos:

$\frac{d^2y}{dx^2} \; ax^2 + bx + c = \frac{dy}{dx} \; 2ax + b = 2a$

DISCRIMINANTE NULO

Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x₁, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.

si la función cuadrática:

$y = -x^2 + 4x - 4 \,$

que cortara al eje de las x si:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad -x^2 + 4x - 4 = 0 \,$

su solución sera:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 (-1) (-4)}}{2 (-1)}$

Operando los valores, tendremos:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 16}}{-2} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{-2}$

la raíz de cero es cero, luego el discriminante en este caso vale cero, y habrá una única solución:

$x_1 = x_2 = \frac{-4}{-2} = \frac{4}{2} = 2$

El punto de corte de la función con el eje de las x es (2,0), que en este caso es tangencial de la función con el eje, ver figura.

El diario de mate de kelly

miércoles, 2 de junio de 2010

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