triangulo de pascal...

El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.

También es conocido como Triángulo de Tartaglia. En países orientales como China, India o Persia, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Jayyam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió el año 1303

Composición del Triángulo de Pascal

El Triángulo se construye de la siguiente manera: escribimos el número «1» centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dichas casillas; continuamos el proceso escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...

Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los coeficientes de las identidades:

pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio:

la circunferencia

Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Es una curva plana c

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al

.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia,

se deduce:

resultando:

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,

la ecuación de la circunferencia es:

on infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

las partes de la parabola

Que es el foco

El foco de la parábola es un punto. Respecto del foco, cada punto de la parábola posee la misma distancia que hasta una recta llamada directriz. f(h+p,k)cuando la parabola va hacia la derecha; f(h-p,k)cuando la parabola va hacia la izquierda

Que es el vértice

Punto medio entre la directriz y foco

Que es la directriz

Punto de apoyo para la construcción de la parábola

Que es la tangente

Es una recta que pasa por una función pero no la corta

Que es secante

Es una recta que corta una circunferencia en 2 puntos

Determinar la ecuación conocidos tres puntos.

Partiendo de la forma de la ecuación:

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinomica de segundo grado:

se cumplira que

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

se puede factorizar como:

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x² sería siempre 1. x₁ y x₂ representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x₁ = x₂ por lo que podríamos escribir:

En este caso a x₁ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:

• Dado:

• Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

• Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

• Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.

• sustituyendo:

• la expresión queda:

Ejemplo 2

Dada la función:

Para calcular sus extremos relativos calcularemos su derivada primera:

Esta derivada valdrá cero cuando:

esto es:

que resulta:

Para x = 2, la función presenta un extremo relativo, como sabemos que el coeficiente de x², es negativo es un máximo, de todas formas se puede calcular la derivada segunda en este punto, comprobando si la función es cóncava o convexa.